Дано:
- Радиус основания цилиндра R (в СИ);
- Высота цилиндра h (в СИ);
- Точки О и О1 — центры нижнего и верхнего основания цилиндра соответственно;
- Точка A принадлежит нижнему основанию цилиндра (на окружности радиуса R, проходящей через точку О);
- На отрезке OO1 отмечена точка B, так что прямая AB пересекает боковую поверхность цилиндра.
Найти:
- Точку пересечения прямой AB с боковой поверхностью цилиндра.
Решение:
1. Обозначим нижнее основание цилиндра окружностью с радиусом R и центром в точке О. Верхнее основание аналогично, с центром в точке О1 и радиусом R.
2. Прямая AB, соединяющая точку A, расположенную на нижнем основании, и точку B на отрезке OO1, пересекает боковую поверхность цилиндра. Задача сводится к нахождению точки пересечения прямой с боковой поверхностью цилиндра.
3. Для нахождения этой точки воспользуемся параметрическими уравнениями прямой AB и уравнением боковой поверхности цилиндра.
Шаг 1. Параметрическое уравнение прямой AB.
Пусть точка A имеет координаты (R, 0, 0), где 0 — это координата по оси Z (в нижнем основании). Точка B лежит на отрезке OO1, и пусть ее координаты будут (0, 0, z), где z — это координата по оси Z, которая пропорциональна расстоянию между точками O и O1. Координаты точки B определяются как точка на отрезке от O до O1, то есть по параметру t, где t изменяется от 0 до 1.
Тогда параметры прямой AB можно записать как:
x(t) = R * (1 - t),
y(t) = 0,
z(t) = h * t,
где t — параметр, который изменяется от 0 до 1.
Шаг 2. Уравнение боковой поверхности цилиндра.
Боковая поверхность цилиндра имеет уравнение:
x² + y² = R²,
где R — радиус основания, а x и y — координаты точек на боковой поверхности.
Шаг 3. Найдем точку пересечения прямой AB с боковой поверхностью.
Подставим параметрическое уравнение прямой AB в уравнение боковой поверхности цилиндра. Для этого подставим выражения для x(t) и y(t) в уравнение цилиндра:
x²(t) + y²(t) = R².
Так как y(t) = 0, получаем:
x²(t) = R²,
то есть
(R * (1 - t))² = R².
Из этого уравнения получаем:
R² * (1 - t)² = R².
Сокращаем на R² и получаем:
(1 - t)² = 1.
Отсюда t = 0 или t = 2.
Но t = 2 выходит за пределы отрезка от 0 до 1, значит, верным значением будет t = 0.
Ответ.
Точка пересечения прямой AB с боковой поверхностью цилиндра будет в точке, соответствующей t = 0. Это значит, что точка пересечения лежит в точке A на нижнем основании цилиндра.