Дано:
Точка A (-3; 6; 4),
Точка B (6; -1; 2),
Точка C (0; 3; -2).
Найти: Точку D, принадлежащую плоскости xz, такую, что AD || BC.
Решение:
1. Векторы AD и BC коллинеарны, то есть существует число k, такое что:
AD = k * BC.
2. Вектор BC = C - B = (0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2) = (-6; 4; -4).
Теперь выразим координаты точки D через координаты точки A и вектора AD.
Пусть точка D имеет координаты (x; 0; z) (так как точка D принадлежит плоскости xz, её y-координата равна 0).
Тогда вектор AD = D - A = (x - (-3); 0 - 6; z - 4) = (x + 3; -6; z - 4).
3. Так как векторы AD и BC коллинеарны, то их компоненты пропорциональны. Следовательно, для каждой компоненты выполняются следующие равенства:
(x + 3) / (-6) = -6 / 4 = (z - 4) / (-4).
4. Из уравнения (x + 3) / (-6) = -6 / 4 получаем:
x + 3 = (-6 / 4) * (-6) = 9,
x = 9 - 3 = 6.
5. Из уравнения (z - 4) / (-4) = -6 / 4 получаем:
z - 4 = (-6 / 4) * (-4) = 6,
z = 6 + 4 = 10.
Ответ: Точка D (6; 0; 10).