Дано:
Точки A(2; -1; 4), B(5; 1; 0), C(6; 1; 3).
Необходимо найти точку D на оси y, такую, чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим координаты точки D как (0; y; 0), так как точка D лежит на оси y.
2. Найдем векторы AB и CD.
Вектор AB = B - A = (5 - 2; 1 - (-1); 0 - 4) = (3; 2; -4).
Вектор CD = D - C = (0 - 6; y - 1; 0 - 3) = (-6; y - 1; -3).
3. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:
AB * CD = 0.
Скалярное произведение векторов AB и CD:
AB * CD = (3) * (-6) + (2) * (y - 1) + (-4) * (-3) = -18 + 2(y - 1) + 12.
Упростим выражение:
AB * CD = -18 + 2y - 2 + 12 = 2y - 8.
4. Чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
2y - 8 = 0.
5. Решим это уравнение:
2y = 8,
y = 4.
Ответ: координаты точки D на оси y: D(0; 4; 0).