Дано:
Точки A(0; -1; 1), B(-2; 0; -1), C(-2; -1; 0).
Необходимо найти точку D на оси z, такую, чтобы векторы AC и BD были перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим координаты точки D как (0; 0; z), так как точка D лежит на оси z.
2. Найдем векторы AC и BD.
Вектор AC = C - A = (-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1) = (-2; 0; -1).
Вектор BD = D - B = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1).
3. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:
AC * BD = 0.
Скалярное произведение векторов AC и BD:
AC * BD = (-2) * 2 + 0 * 0 + (-1) * (z + 1) = -4 + 0 - (z + 1) = -4 - z - 1 = -5 - z.
4. Чтобы векторы AC и BD были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
-5 - z = 0.
5. Решим это уравнение:
z = -5.
Ответ: координаты точки D на оси z: D(0; 0; -5).