Дано:
Радиус окружности R = 12 см.
Найти:
Площадь правильного восьмиугольника.
Решение:
Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить по формуле:
S = 2 * (1 + √2) * a²,
где a — длина стороны восьмиугольника.
Сначала найдем длину стороны a правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса R. Длина стороны a выражается через радиус R следующим образом:
a = R * √2 * sin(π/8).
Подставим значение радиуса:
a = 12 * √2 * sin(π/8).
Сначала найдем значение sin(π/8). Используем формулу:
sin(π/8) = √(2 - √2) / 2.
Теперь подставим это значение:
a = 12 * √2 * (√(2 - √2) / 2) = 6√2 * √(2 - √2).
Теперь вычислим a²:
a² = (6√2 * √(2 - √2))² = 36 * 2 * (2 - √2) = 72 * (2 - √2) = 144 - 72√2.
Теперь подставим a² в формулу для площади:
S = 2 * (1 + √2) * (144 - 72√2).
Распределим:
S = 2 * (144 - 72√2 + 144√2 - 144) = 2 * (72√2) = 144√2.
Таким образом, площадь правильного восьмиугольника равна 144√2 см².
Ответ:
Площадь правильного восьмиугольника = 144√2 см².