На гладкой горизонтальной поверхности лежат два бруска массами 2 кг и 3 кг, между которыми находится пружина, удерживаемая нитью в сжатом состоянии. Жёсткость пружины 400 Н/м, пружина сжата на 5 см. Чему будут равны кинетические энергии брусков после того, как нить пережгут и они будут равномерно скользить по столу?
от

1 Ответ

Дано:
- масса первого бруска M1 = 2 кг
- масса второго бруска M2 = 3 кг
- жёсткость пружины k = 400 Н/м
- сжатие пружины x = 5 см = 0.05 м

Найти:
1. Кинетические энергии брусков после того, как нить пережгут.

Решение:

1. Найдем потенциальную энергию, хранящуюся в сжатой пружине:
   PE_spring = (1/2)kx^2.

2. Подставим известные значения:
   PE_spring = (1/2) * 400 * (0.05)^2
               = (1/2) * 400 * 0.0025
               = 0.5 Дж.

3. После того, как нить будет пережжена, вся эта энергия преобразуется в кинетическую энергию двух брусков:
   KE_total = PE_spring = 0.5 Дж.

4. По закону сохранения импульса, система будет двигаться так, что импульс распределится между двумя брусками:
   P_total = M1 * v1 + M2 * v2,
   где v1 и v2 — скорости брусков соответственно.

5. Из закона сохранения энергии:
   KE_total = (1/2)M1*v1^2 + (1/2)M2*v2^2.

6. Также мы можем выразить одну из скоростей через другую, учитывая, что общий импульс равен нулю, когда система покоится:
   M1 * v1 = M2 * v2
   => v2 = (M1/M2) * v1.

7. Подставим это выражение в уравнение для кинетической энергии:
   KE_total = (1/2)M1*v1^2 + (1/2)M2*((M1/M2)*v1)^2
             = (1/2)M1*v1^2 + (1/2)(M1^2/M2)*v1^2
             = (1/2)v1^2*(M1 + M1^2/M2).

8. Теперь подставим массы:
   KE_total = (1/2)v1^2 * (2 + (2^2 / 3))
             = (1/2)v1^2 * (2 + 4/3)
             = (1/2)v1^2 * (6/3 + 4/3)
             = (1/2)v1^2 * (10/3).

9. Сравнив с общей энергией, получаем:
   0.5 = (1/2)v1^2 * (10/3).

10. Упростим уравнение:
    0.5 = (5/3)v1^2
    => v1^2 = 0.5 * (3/5)
    => v1^2 = 0.3
    => v1 = sqrt(0.3) ≈ 0.5477 м/с.

11. Теперь найдем v2:
    v2 = (M1/M2) * v1 = (2/3) * 0.5477 ≈ 0.3651 м/с.

12. Найдем теперь кинетические энергии каждого бруска:
    KE1 = (1/2)M1*v1^2 = (1/2) * 2 * (0.3) = 0.3 Дж.
    
    KE2 = (1/2)M2*v2^2 = (1/2) * 3 * (0.3651^2) ≈ (1/2) * 3 * 0.1333 ≈ 0.2 Дж.

Ответ:
Кинетическая энергия первого бруска составляет примерно 0.3 Дж, а второго бруска - 0.2 Дж.
от