Дано: стороны треугольника равны 7, 15 и 20. Высоты к этим сторонам равны 4,2, 12 и 5,6.
Найти: какая высота соответствует какой стороне.
Решение:
1. Обозначим стороны:
a = 7 (сторона BC),
b = 15 (сторона AC),
c = 20 (сторона AB).
2. Обозначим высоты:
h1 = 4,2 (высота к стороне BC),
h2 = 12 (высота к стороне AC),
h3 = 5,6 (высота к стороне AB).
3. Площадь треугольника можно выразить через сторону и соответствующую высоту:
S = (1/2) * a * h1,
S = (1/2) * b * h2,
S = (1/2) * c * h3.
4. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (7 + 15 + 20) / 2 = 21.
Площадь S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
= sqrt(21 * (21 - 7) * (21 - 15) * (21 - 20))
= sqrt(21 * 14 * 6 * 1)
= sqrt(1764)
= 42.
5. Теперь найдем высоты через площадь:
Для стороны a = 7:
S = (1/2) * a * h1 => 42 = (1/2) * 7 * h1 => h1 = 42 * 2 / 7 = 12.
Для стороны b = 15:
S = (1/2) * b * h2 => 42 = (1/2) * 15 * h2 => h2 = 42 * 2 / 15 = 5.6.
Для стороны c = 20:
S = (1/2) * c * h3 => 42 = (1/2) * 20 * h3 => h3 = 42 * 2 / 20 = 4.2.
6. Теперь сопоставим высоты и стороны:
h1 = 12 соответствует стороне 7,
h2 = 5.6 соответствует стороне 15,
h3 = 4.2 соответствует стороне 20.
Ответ: высота 4,2 соответствует стороне 20, высота 12 соответствует стороне 7, высота 5,6 соответствует стороне 15.