Длины сторон треугольника равны 7, 15 и 20, а его высоты имеют длины 4,2, 12 и 5,6. Определите, какая высота к какой стороне проведена.
от

1 Ответ

Дано: стороны треугольника равны 7, 15 и 20. Высоты к этим сторонам равны 4,2, 12 и 5,6.

Найти: какая высота соответствует какой стороне.

Решение:

1. Обозначим стороны:
   a = 7 (сторона BC),
   b = 15 (сторона AC),
   c = 20 (сторона AB).

2. Обозначим высоты:
   h1 = 4,2 (высота к стороне BC),
   h2 = 12 (высота к стороне AC),
   h3 = 5,6 (высота к стороне AB).

3. Площадь треугольника можно выразить через сторону и соответствующую высоту:
   S = (1/2) * a * h1,  
   S = (1/2) * b * h2,  
   S = (1/2) * c * h3.

4. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
   Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (7 + 15 + 20) / 2 = 21.

   Площадь S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
   = sqrt(21 * (21 - 7) * (21 - 15) * (21 - 20))
   = sqrt(21 * 14 * 6 * 1)
   = sqrt(1764)
   = 42.

5. Теперь найдем высоты через площадь:
   Для стороны a = 7:
   S = (1/2) * a * h1 => 42 = (1/2) * 7 * h1 => h1 = 42 * 2 / 7 = 12.

   Для стороны b = 15:
   S = (1/2) * b * h2 => 42 = (1/2) * 15 * h2 => h2 = 42 * 2 / 15 = 5.6.

   Для стороны c = 20:
   S = (1/2) * c * h3 => 42 = (1/2) * 20 * h3 => h3 = 42 * 2 / 20 = 4.2.

6. Теперь сопоставим высоты и стороны:
   h1 = 12 соответствует стороне 7,
   h2 = 5.6 соответствует стороне 15,
   h3 = 4.2 соответствует стороне 20.

Ответ: высота 4,2 соответствует стороне 20, высота 12 соответствует стороне 7, высота 5,6 соответствует стороне 15.
от