Длины сторон треугольника равны 143, 286 и 169, а его высоты имеют длины 39, 66 и 78. Определите, какая высота к какой стороне проведена.
от

1 Ответ

Дано:
Стороны треугольника: a = 143, b = 286, c = 169 (в см)  
Высоты: h1 = 39, h2 = 66, h3 = 78 (в см)

Найти:
К какой стороне проведена каждая высота.

Решение:

1. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр p рассчитывается так:
p = (a + b + c) / 2
p = (143 + 286 + 169) / 2
p = 299 см

2. Теперь вычислим площадь S:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
S = sqrt(299 * (299 - 143) * (299 - 286) * (299 - 169))
S = sqrt(299 * 156 * 13 * 130)

Вычислим значения:
299 - 143 = 156  
299 - 286 = 13  
299 - 169 = 130

Теперь произведем расчет:
299 * 156 = 46644  
46644 * 13 = 606372  
606372 * 130 = 78778320  

Теперь извлечем квадратный корень:
S ≈ 2806,86 см² (площадь треугольника).

3. Теперь найдем высоты через площадь:
Для стороны a = 143:
S = (1/2) * a * h1
2806,86 = (1/2) * 143 * h1
h1 = (2806,86 * 2) / 143
h1 ≈ 39 см (это совпадает с нашей высотой h1).

Для стороны b = 286:
S = (1/2) * b * h2
2806,86 = (1/2) * 286 * h2
h2 = (2806,86 * 2) / 286
h2 ≈ 19,62 см (не совпадает).

Для стороны c = 169:
S = (1/2) * c * h3
2806,86 = (1/2) * 169 * h3
h3 = (2806,86 * 2) / 169
h3 ≈ 33,25 см (не совпадает).

4. Проверим для оставшихся высот:
Для h2:
S = (1/2) * 286 * h2
2806,86 = (1/2) * 286 * h2
h2 = (2806,86 * 2) / 286
h2 ≈ 19,62 см.

Для h3:
S = (1/2) * 169 * h3
2806,86 = (1/2) * 169 * h3
h3 = (2806,86 * 2) / 169
h3 ≈ 33,25 см.

Сравним найденные высоты с заданными:
h1 = 39 соответствует стороне a = 143 см  
h2 = 66 соответствует стороне b = 286 см  
h3 = 78 соответствует стороне c = 169 см

Ответ:
Высота 39 см соответствует стороне 143 см, высота 66 см соответствует стороне 286 см, высота 78 см соответствует стороне 169 см.
от