Дано:
Треугольник ABC, угол C = 90°, AC = 15, cos∠A = 5/7.
Найти: AB.
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC мы можем использовать определение косинуса:
cos∠A = прилежащий катет / гипотенуза
Обозначим:
- AB = гипотенуза
- BC = прилежащий катет
Согласно определению косинуса:
cos∠A = BC / AB
Подставим известное значение:
5/7 = BC / AB
Теперь выразим BC через AB:
BC = (5/7) * AB
Также по теореме Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2
Подставляем известные значения:
AB^2 = 15^2 + BC^2
Теперь подставим выражение для BC:
AB^2 = 15^2 + ((5/7) * AB)^2
Раскроем скобки:
AB^2 = 225 + (25/49) * AB^2
Переносим все в одну сторону:
AB^2 - (25/49) * AB^2 = 225
(49/49 - 25/49) * AB^2 = 225
(24/49) * AB^2 = 225
Теперь делим обе стороны на (24/49):
AB^2 = 225 / (24/49)
AB^2 = 225 * (49/24)
AB^2 = 225 * 2,04167 (приблизительно)
AB^2 = 459,375 (приблизительно)
Теперь находим AB, взяв квадратный корень:
AB = √459,375
AB ≈ 21,43 (приблизительно)
Ответ: AB ≈ 21,43.