Дано:
Треугольник ABC, угол C = 90°, AB = 10 м, HC = √19 м.
Найти: cos∠A.
Решение:
1. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
S = 1/2 * AB * HC = 1/2 * 10 * √19 = 5√19.
Также, S = 1/2 * AC * BC, где AC и BC - катеты треугольника.
2. Сравниваем:
5√19 = 1/2 * AC * BC.
Следовательно, AC * BC = 10√19.
3. Используем теорему Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2,
10^2 = AC^2 + BC^2,
100 = AC^2 + BC^2.
4. Теперь у нас есть система уравнений:
1) AC * BC = 10√19,
2) AC^2 + BC^2 = 100.
5. Из первого уравнения выразим BC:
BC = (10√19) / AC.
6. Подставляем во второе уравнение:
AC^2 + ((10√19) / AC)^2 = 100.
7. Упрощаем:
AC^2 + (100 * 19) / AC^2 = 100.
8. Умножаем на AC^2:
AC^4 - 100AC^2 + 1900 = 0.
9. Обозначим x = AC^2:
x^2 - 100x + 1900 = 0.
10. Находим дискриминант:
D = 100^2 - 4 * 1 * 1900 = 10000 - 7600 = 2400.
11. Находим корни:
x = (100 ± √2400) / 2 = (100 ± 20√6) / 2,
x = 50 ± 10√6.
12. Положительный корень:
AC^2 = 50 + 10√6.
13. Находим AC:
AC = √(50 + 10√6).
14. Теперь находим cos∠A:
cos∠A = AC / AB = √(50 + 10√6) / 10.
Ответ: cos∠A = √(50 + 10√6) / 10.