Дано:
Треугольник ABC,
AC = BC,
высота CH = 20 м,
cos∠A = 21/29.
Найти:
AC.
Решение:
В равнобедренном треугольнике ABC высота CH делит основание AB на два равных отрезка и перпендикулярна этому основанию.
Обозначим длину стороны AC (или BC) как c. Мы можем использовать отношение косинуса для нахождения длины AC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем:
cos∠A = AH / AC.
Из этого следует, что:
AH = AC * cos∠A = c * (21/29).
Также известно, что в треугольнике AHC высота CH равна 20 м. Мы можем применить теорему Пифагора:
AC^2 = AH^2 + CH^2.
Подставим известные значения и выражение для AH:
c^2 = (c * (21/29))^2 + 20^2.
Раскроем скобки:
c^2 = (441c^2 / 841) + 400.
Теперь умножим все на 841, чтобы избавиться от дроби:
841c^2 = 441c^2 + 400 * 841.
Вычтем 441c^2 из обеих сторон:
400c^2 = 400 * 841.
Теперь разделим обе стороны на 400:
c^2 = 841.
Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем:
c = √841 = 29.
Ответ:
AC = 29 м.