дано:
Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, дающие в сумме 101. Дробь не превосходит 1/3.
найти:
Наибольшее возможное значение такой дроби.
решение:
1) Обозначим числитель дроби как x, а знаменатель как y. Тогда имеем:
x + y = 101
2) Из этого уравнения можно выразить y через x:
y = 101 - x
3) Теперь подставим это выражение в дробь:
Дробь = x / y = x / (101 - x)
4) Условие, что дробь не превосходит 1/3, запишем как:
x / (101 - x) ≤ 1/3
5) Умножим обе стороны на (101 - x) (при этом нужно учитывать, что 101 - x > 0, поскольку x — натуральное число):
x ≤ (101 - x) / 3
6) Умножим обе стороны на 3:
3x ≤ 101 - x
7) Переносим x в левую часть:
3x + x ≤ 101
4x ≤ 101
8) Разделим обе стороны на 4:
x ≤ 101 / 4
x ≤ 25.25
Так как x — натуральное число, то максимальное значение x может быть 25.
9) Подставим x = 25 в уравнение для y:
y = 101 - 25 = 76
10) Проверим дробь с этими значениями:
Дробь = 25 / 76
11) Убедимся, что она действительно меньше или равна 1/3:
25 / 76 ≤ 1/3
Умножим обе стороны на 76:
25 ≤ 76 / 3
25 ≤ 25.33 (что верно).
Следовательно, дробь 25/76 удовлетворяет всем условиям и является наибольшей возможной.
ответ:
Наибольшее возможное значение дроби равно 25/76.