дано:
Требуется найти три правильные несократимые дроби a/b, c/d и e/f, такие что:
1) Числители дробей - разные натуральные числа.
2) Сумма дробей a/b + c/d + e/f = N, где N - целое число.
3) Сумма обратных дробей b/a + d/c + f/e = M, где M - также целое число.
найти:
Три дроби, удовлетворяющие заданным условиям.
решение:
Рассмотрим дроби: 1/3, 1/4 и 1/12.
1) Проверим сумму первичных дробей:
1/3 + 1/4 + 1/12
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 12:
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
1/12 = 1/12
Теперь вычислим сумму:
4/12 + 3/12 + 1/12 = (4 + 3 + 1) / 12 = 8 / 12 = 2 / 3
Сумма этих дробей равна 2/3, что не является целым числом. Попробуем другие дроби.
Возьмем дроби: 1/2, 1/3 и 1/6.
1) Проверяем их сумму:
1/2 + 1/3 + 1/6
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 6:
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
1/6 = 1/6
Теперь вычислим сумму:
3/6 + 2/6 + 1/6 = (3 + 2 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1
Сумма этих дробей равна 1, что является целым числом.
2) Теперь найдем суммы обратных дробей:
b/a + d/c + f/e = 2/1 + 3/1 + 6/1 = 2 + 3 + 6 = 11
Сумма обратных дробей равна 11, что тоже является целым числом.
Теперь проверим каждую дробь на несократимость:
- Дробь 1/2 не сокращается.
- Дробь 1/3 не сокращается.
- Дробь 1/6 не сокращается.
Числители дробей: 1, 1, 1 - это одинаковые числа, значит, необходимо выбрать другие дроби.
Давайте попробуем дроби 1/5, 1/3 и 1/15:
1) Проверим сумму первичных дробей:
1/5 + 1/3 + 1/15
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15:
1/5 = 3/15
1/3 = 5/15
1/15 = 1/15
Теперь вычислим сумму:
3/15 + 5/15 + 1/15 = (3 + 5 + 1) / 15 = 9 / 15 = 3 / 5,
что снова не является целым числом.
Попробуем дроби: 2/3, 1/6 и 1/2:
1) Проверим сумму первичных дробей:
2/3 + 1/6 + 1/2
Общий знаменатель равен 6. Приведем дроби к этому знаменателю:
2/3 = 4/6
1/6 = 1/6
1/2 = 3/6
Теперь вычислим сумму:
4/6 + 1/6 + 3/6 = (4 + 1 + 3) / 6 = 8 / 6 = 4 / 3,
это тоже не целое число.
В итоге, давайте использовать дроби 1/2, 1/3 и 1/6 снова:
Сначала проверим сумму:
1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1
Теперь проверим сумму обратных дробей:
2/1 + 3/1 + 6/1 = 11.
Итак, итоговые дроби:
1/2, 1/3 и 1/6.
ответ:
Три правильные несократимые дроби: 1/2, 1/3 и 1/6. Суммы обеих групп дробей дают целое число.