Дано:
- Сумма квадрата седьмого члена и четырнадцатого в 18 раз больше тринадцатого члена.
- Разность квадрата девятого члена и восемнадцатого в 8 раз больше семнадцатого члена.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
a7 = a * q^6,
a13 = a * q^12,
a14 = a * q^13,
a9 = a * q^8,
a18 = a * q^17,
a17 = a * q^16.
Согласно первому условию:
(a * q^6)^2 + (a * q^13) = 18 * (a * q^12).
Раскроем скобки:
a^2 * q^12 + a * q^13 = 18 * a * q^12.
Теперь вынесем a * q^12:
a^2 * q^12 + a * q^13 - 18 * a * q^12 = 0
=> a * q^12 (a + q - 18) = 0.
Поскольку a не равно 0, то:
a + q - 18 = 0
=> a = 18 - q.
Теперь используем второе условие:
(a * q^8)^2 - (a * q^17) = 8 * (a * q^16).
Раскроем скобки:
a^2 * q^{16} - a * q^{17} = 8 * a * q^{16}.
Вынесем a * q^{16}:
a^2 * q^{16} - a * q^{17} - 8 * a * q^{16} = 0
=> a * q^{16} (a - q - 8) = 0.
Поскольку a не равно 0, то:
a - q - 8 = 0
=> a = q + 8.
Теперь у нас есть два уравнения:
1) a = 18 - q
2) a = q + 8.
Приравняем оба выражения для a:
18 - q = q + 8.
Решим это уравнение:
18 - 8 = q + q
10 = 2q
q = 5.
Подставим найденное значение q в одно из уравнений для a:
a = 18 - q = 18 - 5 = 13.
Ответ:
Первый член равен 13, знаменатель равен 5.