Дано:
- Сумма квадрата девятого члена и восемнадцатого в 13 раз больше семнадцатого члена.
- Разность квадрата седьмого члена и четырнадцатого в 7 раз больше тринадцатого члена.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
a9 = a * q^8,
a17 = a * q^16,
a18 = a * q^17,
a7 = a * q^6,
a14 = a * q^13,
a13 = a * q^12.
Согласно первому условию:
(a * q^8)^2 + (a * q^17) = 13 * (a * q^16).
Раскроем скобки:
a^2 * q^16 + a * q^17 = 13 * a * q^16.
Теперь вынесем a * q^16:
a^2 * q^16 + a * q^17 = 13 * a * q^16
=> a(q^16 + q^17) = 13 * a * q^16
=> q^16 + q^17 = 13 * q^16.
Переносим все члены на одну сторону:
q^17 - 12 * q^16 = 0
=> q^16(q - 12) = 0.
Так как q не может быть равным 0, то:
q - 12 = 0 => q = 12.
Теперь используем второе условие:
(a * q^6)^2 - (a * q^13) = 7 * (a * q^12).
Раскроем скобки:
a^2 * q^{12} - a * q^{13} = 7 * a * q^{12}.
Вынесем a * q^{12}:
a^2 * q^{12} - a * q^{13} - 7 * a * q^{12} = 0
=> a * q^{12}(a - q - 7) = 0.
Поскольку a не равно 0, то:
a - q - 7 = 0
=> a = q + 7.
Подставим найденное значение q = 12:
a = 12 + 7 = 19.
Ответ:
Первый член равен 19, знаменатель равен 12.