Дано:
- (a6 + a11) / (a5 + a10) = 7
Найти: знаменатель прогрессии (q).
Решение:
Геометрическая прогрессия задается формулой:
an = a1 * q^(n-1),
где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.
Запишем члены прогрессии:
a5 = a1 * q^4
a6 = a1 * q^5
a10 = a1 * q^9
a11 = a1 * q^10
Теперь подставим эти значения в данное уравнение:
(a1 * q^5 + a1 * q^10) / (a1 * q^4 + a1 * q^9) = 7
Сократим a1 (при условии что a1 не равно нулю):
(q^5 + q^10) / (q^4 + q^9) = 7
Упростим дробь:
(q^5 + q^10) = 7 * (q^4 + q^9)
Раскроем скобки:
q^5 + q^10 = 7q^4 + 7q^9
Переносим все в одну сторону:
q^10 - 7q^9 + q^5 - 7q^4 = 0
Вынесем q^4:
q^4(q^6 - 7q^5 + q - 7) = 0
Решение q = 0 не подходит, поскольку знаменатель прогрессии не может быть равен нулю. Поэтому нам нужно решить уравнение:
q^6 - 7q^5 + q - 7 = 0
Для поиска корней этого уравнения попробуем различные значения q:
Подставляем q = 1:
1^6 - 7 * 1^5 + 1 - 7 = 1 - 7 + 1 - 7 = -12 (не корень)
Подставляем q = 2:
2^6 - 7 * 2^5 + 2 - 7 = 64 - 224 + 2 - 7 = -165 (не корень)
Подставляем q = 3:
3^6 - 7 * 3^5 + 3 - 7 = 729 - 7 * 243 + 3 - 7 = 729 - 1701 + 3 - 7 = -976 (не корень)
Подставляем q = 4:
4^6 - 7 * 4^5 + 4 - 7 = 4096 - 7 * 1024 + 4 - 7 = 4096 - 7168 + 4 - 7 = -3075 (не корень)
Подставляем q = 5:
5^6 - 7 * 5^5 + 5 - 7 = 15625 - 7 * 3125 + 5 - 7 = 15625 - 21875 + 5 - 7 = -6247 (не корень)
Подставляем q = 6:
6^6 - 7 * 6^5 + 6 - 7 = 46656 - 7 * 7776 + 6 - 7 = 46656 - 54432 + 6 - 7 = -778 (не корень)
Подставляем q = 7:
7^6 - 7 * 7^5 + 7 - 7 = 117649 - 7 * 16807 + 7 - 7 = 117649 - 117649 + 7 - 7 = 0 (корень найден)
Мы нашли корень уравнения q = 7.
Ответ:
Знаменатель геометрической прогрессии равен 7.