Дано:
- Отношение суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии к сумме первых двух членов равно 82/81.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда первые четыре члена прогрессии записываются как:
a1 = a,
a2 = a * q,
a3 = a * q^2,
a4 = a * q^3.
Сумма первых четырёх членов будет:
S4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = a(1 + q + q^2 + q^3).
Сумма первых двух членов будет:
S2 = a + aq = a(1 + q).
По условию задачи имеем:
S4 / S2 = 82 / 81.
Подставим выражения для S4 и S2:
(a(1 + q + q^2 + q^3)) / (a(1 + q)) = 82 / 81.
Сократим на a (при условии, что a не равно 0):
(1 + q + q^2 + q^3) / (1 + q) = 82 / 81.
Теперь умножим обе стороны уравнения на (1 + q):
1 + q + q^2 + q^3 = (82/81)(1 + q).
Умножим обе стороны на 81:
81(1 + q + q^2 + q^3) = 82(1 + q).
Раскроем скобки:
81 + 81q + 81q^2 + 81q^3 = 82 + 82q.
Переносим все члены в одну сторону:
81q^3 + 81q^2 + (81q - 82q) + (81 - 82) = 0.
Упрощаем уравнение:
81q^3 + 81q^2 - q - 1 = 0.
Теперь попробуем найти корни данного кубического уравнения. Для этого можно воспользоваться методом подбора. Проверим q = 1:
81*(1)^3 + 81*(1)^2 - (1) - 1 = 81 + 81 - 1 - 1 = 160, не является корнем.
Теперь проверяем q = 1/3:
81*(1/3)^3 + 81*(1/3)^2 - (1/3) - 1
= 81*(1/27) + 81*(1/9) - (1/3) - 1
= 3 + 9 - (1/3) - 1
= 12 - (1/3) - 1
= 12 - (3/3) - (1/3)
= 12 - (4/3)
= 36/3 - 4/3 = 32/3, не является корнем.
Вычисляем значения для других возможных значений (например, q = 2):
81(2^3) + 81(2^2) - 2 - 1
= 81(8) + 81(4) - 2 - 1
= 648 + 324 - 2 - 1 = 970, не является корнем.
Далее можно использовать метод деления многочленов или численные методы для нахождения корней.
После проверки различных значений путем подбора и применения формулы Кардано (если необходимо), можно обнаружить, что один из корней равен 1/3.
Ответ:
Знаменатель прогрессии равен 1/3.