Дано:
- Отношение суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии к сумме первых двух членов равно 26/25.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда первые четыре члена прогрессии можно записать следующим образом:
a1 = a,
a2 = a * q,
a3 = a * q^2,
a4 = a * q^3.
Сумма первых четырёх членов будет:
S4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = a(1 + q + q^2 + q^3).
Сумма первых двух членов будет:
S2 = a + aq = a(1 + q).
По условию задачи имеем:
S4 / S2 = 26 / 25.
Подставим выражения для S4 и S2:
(a(1 + q + q^2 + q^3)) / (a(1 + q)) = 26 / 25.
Сократим на a (при условии, что a не равно 0):
(1 + q + q^2 + q^3) / (1 + q) = 26 / 25.
Теперь умножим обе стороны уравнения на (1 + q):
1 + q + q^2 + q^3 = (26/25)(1 + q).
Умножим обе стороны на 25:
25(1 + q + q^2 + q^3) = 26(1 + q).
Раскроем скобки:
25 + 25q + 25q^2 + 25q^3 = 26 + 26q.
Переносим все члены в одну сторону:
25q^3 + 25q^2 + (25q - 26q) + (25 - 26) = 0.
Упрощаем уравнение:
25q^3 + 25q^2 - q - 1 = 0.
Теперь попробуем найти корни данного кубического уравнения. Для этого можно воспользоваться методом подбора. Проверим q = 1:
25(1)^3 + 25(1)^2 - (1) - 1 = 25 + 25 - 1 - 1 = 48, не является корнем.
Теперь проверяем q = 1/5:
25(1/5)^3 + 25(1/5)^2 - (1/5) - 1
= 25*(1/125) + 25*(1/25) - (1/5) - 1
= 25/125 + 25/25 - 1/5 - 1
= 1/5 + 1 - 1/5 - 1
= 1/5 - 1/5 + 1 - 1
= 0, является корнем.
Таким образом, одно из решений уравнения - q = 1/5.
Ответ:
Знаменатель прогрессии равен 1/5.