Дано:
Основания равнобедренной трапеции:
a = 20 см,
b = 12 см.
Диагональ перпендикулярна боковой стороне.
Найти: площадь трапеции.
Решение:
Для нахождения площади трапеции, используем формулу:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b — основания, h — высота трапеции.
Чтобы найти высоту трапеции, воспользуемся тем, что диагональ перпендикулярна боковой стороне. Разделим трапецию на два прямоугольных треугольника, в которых диагональ будет гипотенузой, а высота — одной из сторон прямоугольного треугольника.
Обозначим высоту трапеции через h, длину боковой стороны через l.
1. Проводим высоту из верхнего основания b к нижнему основанию a. Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной диагонали, и катетами, равными h и половине разности оснований (a - b)/2.
2. Из теоремы Пифагора для одного из треугольников имеем:
l^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2
3. Диагональ перпендикулярна боковой стороне, что означает, что l = h. Подставляем это в формулу:
h^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2
4. Упростим уравнение:
h^2 = h^2 + ((20 - 12) / 2)^2
h^2 = h^2 + (8 / 2)^2
h^2 = h^2 + 4^2
h^2 = h^2 + 16
Это уравнение можно решить относительно h, и получим:
h = 4 см
Теперь можем найти площадь трапеции:
S = (a + b) * h / 2
S = (20 + 12) * 4 / 2
S = 32 * 4 / 2
S = 128 / 2
S = 64 см²
Ответ: площадь трапеции равна 64 см².