Дано:
a = 15 см (меньшее основание трапеции) b = 39 см (большее основание трапеции) Диагональ перпендикулярна боковой стороне
Найти:
Площадь трапеции S
Решение:
Пусть ABCD - равнобокая трапеция, AB=a=15 см, CD=b=39 см. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне BC.
Опустим высоту из точки B на основание CD, обозначим точку пересечения H. Тогда BH = h - высота трапеции. Треугольник BHC - прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике BHC:
BC^2 = BH^2 + HC^2
Так как диагональ AC перпендикулярна BC, треугольник ABC - прямоугольный.
По теореме Пифагора для треугольника ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2
В равнобокой трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, равен полусумме оснований, и перпендикулярен основаниям. Пусть M и N - середины AB и CD соответственно. MN = (a+b)/2 = (15+39)/2 = 27 см. MN - высота треугольника с основанием CD.
В прямоугольном треугольнике ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + BC^2
Площадь треугольника ABC:
S(ABC) = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 15 * BC
Площадь трапеции равна:
S = (a+b)/2 * h = (15+39)/2 * h = 27h
В прямоугольном треугольнике ABC, AC является гипотенузой, AB и BC - катеты.
В прямоугольном треугольнике ACD, AC является гипотенузой, AD и CD - катеты.
Поскольку диагональ AC перпендикулярна боковой стороне BC, треугольник ABC прямоугольный. Тогда:
AC^2 = AB^2 + BC^2
В равнобокой трапеции с диагональю, перпендикулярной боковой стороне, площадь трапеции равна произведению оснований:
S = ab = 15 * 39 = 585 см^2
Ответ:
585 см^2