Дано:
- Точка A (-4; 1; 2)
- Точка B (-2; 0; -1)
- Точка C (1; 1; 0)
Найти:
Координаты точки D, принадлежащей плоскости yz, такой, что векторы AB и CD коллинеарны.
Решение:
1. Найдем вектор |AB|:
|AB| = B - A = (-2; 0; -1) - (-4; 1; 2) = (-2 + 4; 0 - 1; -1 - 2) = (2; -1; -3).
2. Так как точка D принадлежит плоскости yz, ее координаты будут иметь вид D(0; y; z), где x = 0.
3. Найдем вектор |CD|:
|CD| = D - C = (0; y; z) - (1; 1; 0) = (0 - 1; y - 1; z - 0) = (-1; y - 1; z).
4. Вектора |AB| и |CD| коллинеарны, если существует скаляр k, такой что:
|CD| = k * |AB|.
Подставим вектора:
(-1; y - 1; z) = k * (2; -1; -3).
5. Это дает систему уравнений:
-1 = 2k (1)
y - 1 = -k (2)
z = -3k (3)
6. Из первого уравнения найдем k:
-1 = 2k
k = -1/2.
7. Теперь подставим значение k во второе и третье уравнения:
Из (2):
y - 1 = -(-1/2)
y - 1 = 1/2
y = 1/2 + 1 = 3/2.
Из (3):
z = -3 * (-1/2)
z = 3/2.
Таким образом, координаты точки D равны:
D(0; 3/2; 3/2).
Ответ:
Координаты точки D: (0; 3/2; 3/2).