Дано:
Точки A(2; 1; -2) и B(6; 5; 2). Необходимо составить уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки A в 3 раза меньше расстояния до точки B.
Найти: Уравнение геометрического места точек, удовлетворяющих данному условию.
Решение:
Пусть точка P(x; y; z) — это любая точка пространства, для которой выполняется данное условие. Мы знаем, что расстояние от точки P до точки A в 3 раза меньше расстояния от точки P до точки B. Это можно записать следующим образом:
d(P, A) = (1/3) * d(P, B),
где d(P, A) — расстояние от точки P до точки A, а d(P, B) — расстояние от точки P до точки B.
Расстояние между двумя точками с координатами (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) рассчитывается по формуле:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).
1. Вычислим расстояния от точки P(x; y; z) до точек A и B.
- Расстояние от точки P до точки A(2; 1; -2):
d(P, A) = √((x - 2)² + (y - 1)² + (z + 2)²).
- Расстояние от точки P до точки B(6; 5; 2):
d(P, B) = √((x - 6)² + (y - 5)² + (z - 2)²).
2. Подставим эти выражения в уравнение, которое описывает условие задачи:
√((x - 2)² + (y - 1)² + (z + 2)²) = (1/3) * √((x - 6)² + (y - 5)² + (z - 2)²).
3. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
(x - 2)² + (y - 1)² + (z + 2)² = (1/9) * ((x - 6)² + (y - 5)² + (z - 2)²).
4. Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дроби:
9 * ((x - 2)² + (y - 1)² + (z + 2)²) = (x - 6)² + (y - 5)² + (z - 2)².
5. Раскроем скобки:
9 * (x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 + z² + 4z + 4) = x² - 12x + 36 + y² - 10y + 25 + z² - 4z + 4.
6. Упростим обе части:
9x² - 36x + 36 + 9y² - 18y + 9 + 9z² + 36z + 36 = x² - 12x + 36 + y² - 10y + 25 + z² - 4z + 4.
7. Переносим все на одну сторону:
9x² - x² + 9y² - y² + 9z² - z² - 36x + 12x - 18y + 10y + 36z + 4z + 36 + 9 + 36 - 36 - 36 - 25 - 4 = 0.
8. Упростим:
8x² + 8y² + 8z² - 24x - 8y + 40z + 16 = 0.
9. Разделим на 8:
x² + y² + z² - 3x - y + 5z + 2 = 0.
Ответ:
Уравнение геометрического места точек, расстояние от которых до точки A в 3 раза меньше расстояния до точки B, имеет вид:
x² + y² + z² - 3x - y + 5z + 2 = 0.