Дано:
Точки A (0; -3; 0) и B (0; 6; 0). Необходимо составить уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки A в 2 раза больше расстояния до точки B.
Найти: уравнение геометрического места точек, которое удовлетворяет данному условию.
Решение:
Пусть точка P(x; y; z) — это любая точка, для которой выполняется данное условие. Мы знаем, что расстояние от точки P до точки A в 2 раза больше расстояния от точки P до точки B. Это можно записать следующим образом:
d(P, A) = 2 * d(P, B),
где d(P, A) — расстояние от точки P до точки A, а d(P, B) — расстояние от точки P до точки B.
Расстояние между двумя точками с координатами (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) рассчитывается по формуле:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).
1. Вычислим расстояния от точки P(x; y; z) до точек A и B.
- Расстояние от точки P до точки A(0; -3; 0):
d(P, A) = √((x - 0)² + (y - (-3))² + (z - 0)²) = √(x² + (y + 3)² + z²).
- Расстояние от точки P до точки B(0; 6; 0):
d(P, B) = √((x - 0)² + (y - 6)² + (z - 0)²) = √(x² + (y - 6)² + z²).
2. Подставим эти выражения в уравнение, которое описывает условие задачи:
√(x² + (y + 3)² + z²) = 2 * √(x² + (y - 6)² + z²).
3. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
(x² + (y + 3)² + z²) = 4 * (x² + (y - 6)² + z²).
4. Раскроем скобки:
x² + (y² + 6y + 9) + z² = 4 * (x² + (y² - 12y + 36) + z²).
5. Упростим обе части:
x² + y² + 6y + 9 + z² = 4x² + 4y² - 48y + 144 + 4z².
6. Переносим все на одну сторону:
x² + y² + 6y + 9 + z² - 4x² - 4y² + 48y - 144 - 4z² = 0.
7. Упростим:
-3x² - 3y² + 54y - 135 - 3z² = 0.
8. Разделим на -3:
x² + y² - 18y + 45 + z² = 0.
9. Преобразуем уравнение, добавив 18² = 324 к обеим частям:
x² + (y - 9)² + z² = 324.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке (0; 9; 0) и радиусом 18.
Ответ:
Геометрическое место точек, расстояние от которых до точки A в 2 раза больше расстояния до точки B, является сферой с центром в точке (0; 9; 0) и радиусом 18. Уравнение этой сферы:
x² + (y - 9)² + z² = 324.