Дано:
Точки М(-6; 3; 5) и N(4; -7; 1).
Найти: уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек М и N.
Решение:
1. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух фиксированных точек, — это плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки. Уравнение этой плоскости можно найти, используя условие, что расстояния от произвольной точки P(x; y; z) до точек М и N одинаковы.
2. Расстояние от произвольной точки P(x; y; z) до точки М(-6; 3; 5) можно выразить как:
d(M, P) = √[(x + 6)² + (y - 3)² + (z - 5)²].
3. Расстояние от произвольной точки P(x; y; z) до точки N(4; -7; 1) можно выразить как:
d(N, P) = √[(x - 4)² + (y + 7)² + (z - 1)²].
4. Для того чтобы точка P была равноудалена от точек М и N, нужно приравнять эти расстояния:
√[(x + 6)² + (y - 3)² + (z - 5)²] = √[(x - 4)² + (y + 7)² + (z - 1)²].
5. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:
(x + 6)² + (y - 3)² + (z - 5)² = (x - 4)² + (y + 7)² + (z - 1)².
6. Раскроем скобки:
x² + 12x + 36 + y² - 6y + 9 + z² - 10z + 25 = x² - 8x + 16 + y² + 14y + 49 + z² - 2z + 1.
7. Упростим уравнение, сокращая одинаковые элементы (x², y², z²):
12x + 36 - 6y + 9 - 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 - 2z + 1.
8. Переносим все элементы в одну сторону уравнения:
12x + 8x - 6y - 14y - 10z + 2z + 36 + 9 + 25 - 16 - 49 - 1 = 0.
9. Приводим подобные элементы:
20x - 20y - 8z + (36 + 9 + 25 - 16 - 49 - 1) = 0.
10. Упростим уравнение:
20x - 20y - 8z + 4 = 0.
11. Уравнение плоскости будет:
20x - 20y - 8z + 4 = 0.
Ответ:
Уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек М и N:
20x - 20y - 8z + 4 = 0.