Дано:
- Радиус основания цилиндра (r) = 8 см.
- Угол видимости хорды из центра нижнего основания (α1) = 90°.
- Угол видимости хорды из центра верхнего основания (α2) = 60°.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
1. Длина хорды (l) в нижнем основании может быть найдена по формуле:
l = 2 * r * sin(α / 2).
2. Подставим значения для нижнего основания:
l = 2 * 8 * sin(90° / 2),
l = 2 * 8 * sin(45°).
3. Зная, что sin(45°) = √2 / 2, получаем:
l = 2 * 8 * (√2 / 2) = 8√2 см.
4. Теперь найдем высоту цилиндра (h) с использованием угла α2 для верхнего основания:
l = 2 * R * sin(60° / 2),
где R = r = 8 см.
5. Подставляем значение:
8√2 = 2 * 8 * sin(30°),
8√2 = 2 * 8 * (1/2).
6. Приведем уравнение к следующему виду:
8√2 = 8,
отсюда находим, что это выражение не дает нам значения h. Вместо этого можем использовать координаты.
7. Высота h может быть найдена через радиус и угол:
tan(30°) = h / (l / 2).
l / 2 = 8√2 / 2 = 4√2.
tan(30°) = 1 / √3.
h = (l / 2) * tan(30°) = 4√2 * (1 / √3).
8. Находим h:
h = 4√2 / √3 = (4√6) / 3 см.
9. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Sбок = 2 * π * r * h.
10. Подставляем найденные значения:
Sбок = 2 * π * 8 * (4√6 / 3) = (64√6π) / 3 см².
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна (64√6π) / 3 см² или примерно 80.48 см².