Дано:
- Длина хорды (l) = 6 см.
- Угол видимости хорды из центра нижнего основания (α1) = 120°.
- Угол видимости хорды из центра верхнего основания (α2) = 60°.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
1. Сначала найдем радиус основания цилиндра (r). Длина хорды может быть найдена по формуле:
l = 2 * r * sin(α / 2),
где α — угол, под которым видна хорда из центра окружности.
2. Для нижнего основания:
Подставим значения:
6 = 2 * r * sin(120° / 2),
6 = 2 * r * sin(60°).
3. Зная, что sin(60°) = √3 / 2, получаем:
6 = 2 * r * (√3 / 2),
6 = r * √3.
4. Отсюда находим радиус r:
r = 6 / √3 = 2√3 см.
5. Теперь найдем высоту цилиндра (h). Используя угол α2 для верхнего основания:
6 = 2 * R * sin(30°),
где R — радиус верхнего основания, который равен радиусу нижнего основания (R = r = 2√3 см).
6. Подставляем значение:
6 = 2 * (2√3) * sin(30°),
6 = 2 * (2√3) * (1/2),
6 = 2√3.
7. Теперь найдём h:
Поскольку углы между хордой и вертикалями вершин цилиндра не влияют на высоту в этом контексте, мы можем использовать тот факт, что расстояние от центра окружности до середины хорды будет равно:
h = (√3 / 2) * l = (√3 / 2) * 6.
h = 3√3 см.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Sбок = 2 * π * r * h.
9. Подставляем найденные значения:
Sбок = 2 * π * (2√3) * (3√3).
Sбок = 2 * π * 2 * 3 * 3 = 36π см².
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна 36π см² или примерно 113.10 см².