Дано:
- Радиус основания цилиндра R (в метрах).
- Угол между хордами и радиусами нижнего и верхнего основания: 90° для нижнего основания и 60° для верхнего основания.
Найти: объём цилиндра.
Решение:
1. Рассмотрим цилиндр с радиусом основания R. В нижнем основании проведена хорда, которая видна из центра основания под углом 90°. Это означает, что хорда перпендикулярна радиусу нижнего основания, и она делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с гипотенузой, которая равна длине хорды.
2. Обозначим длину хорды как L. Так как угол между радиусом и хордой равен 90°, то хорда будет делить основание пополам, и образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике один катет — это радиус основания R, а гипотенуза — это длина хорды.
3. По теореме Пифагора для треугольника с катетами R и R, длина хорды L будет равна:
L = √(R² + R²) = √(2R²) = R√2.
4. Теперь переходим ко второму условию задачи. Угол между хордами и радиусами верхнего основания равен 60°. Это означает, что длина хорды, видимая из центра верхнего основания, будет меньше. Обозначим её как L1.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом верхнего основания, половиной хорды и высотой цилиндра h. Из геометрии мы знаем, что угол между радиусом и хордами верхнего основания 60°.
Используем тригонометрию для нахождения высоты цилиндра h. С учётом угла 60° в прямоугольном треугольнике, высота h будет вычисляться по формуле:
h = R * tan(60°) = R * √3.
6. Теперь, зная радиус основания R и высоту цилиндра h, можно найти объём цилиндра. Формула для объёма цилиндра:
V = π * R² * h.
Подставим значение h:
V = π * R² * (R * √3) = π * R³ * √3.
Ответ: объём цилиндра равен π * R³ * √3.