Дано:
вектор а = {2; 4},
вектор b = {-В; 6},
вектор с = {8; -4}.
Найти:
1) Докажите, что вектор а перпендикулярен вектору с и не перпендикулярен вектору b.
2) Найдите косинус угла а между векторами b и с.
3) Определите, острым или тупым является угол а.
Решение:
1) Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы а и с, найдем их скалярное произведение:
a · c = a1 * c1 + a2 * c2 = 2 * 8 + 4 * (-4) = 16 - 16 = 0.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор а перпендикулярен вектору с.
Теперь проверим перпендикулярность векторов а и b:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 = 2 * (-В) + 4 * 6 = -2В + 24.
Для перпендикулярности нужно, чтобы a · b = 0:
-2В + 24 = 0
=> 2В = 24
=> В = 12.
Таким образом, вектор а не перпендикулярен вектору b, если В ≠ 12.
2) Найдем косинус угла а между векторами b и с. Для этого используем формулу:
cos(угол) = (b · c) / (|b| * |c|).
Сначала найдем скалярное произведение b и c:
b · c = b1 * c1 + b2 * c2 = (-В) * 8 + 6 * (-4) = -8В - 24.
Теперь найдем длины векторов b и c:
|b| = √((-В)^2 + 6^2) = √(В^2 + 36),
|c| = √(8^2 + (-4)^2) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.
Теперь подставим в формулу для косинуса:
cos(угол) = (-8В - 24) / (√(В^2 + 36) * 4√5).
3) Чтобы определить, острым или тупым является угол а, нужно оценить знак косинуса.
Косинус угла острый, если cos(угол) > 0, и тупой, если cos(угол) < 0.
Из выражения для cos(угол) видно, что знак будет зависеть от числителя:
-8В - 24.
Решим неравенство -8В - 24 > 0:
-8В > 24
=> В < -3.
Таким образом, если В < -3, угол острый. Если В ≥ -3, угол тупой.
Ответ:
1) Вектор а перпендикулярен вектору с и не перпендикулярен вектору b при В ≠ 12.
2) Косинус угла а между векторами b и с равен (-8В - 24) / (√(В^2 + 36) * 4√5).
3) Угол а острый при В < -3 и тупой при В ≥ -3.