Дано:
- длина стержня L = 40 см = 0,4 м
- половина из стали (20 см)
- половина из алюминия (20 см)
- плотность стали ρ_сталь ≈ 7850 кг/м^3
- плотность алюминия ρ_алюминий ≈ 2700 кг/м^3
Найти:
центр тяжести стержня.
Решение:
1. Сначала найдем объем и массу каждой половины стержня. Объем V каждой половины можно выразить через радиус r и длину h:
V = π * r^2 * h.
2. Для упрощения расчетов будем считать радиус стержня одинаковым для обеих половин, обозначим его как r.
3. Теперь найдем массы каждой половины:
- масса стали m_сталь = ρ_сталь * V_сталь = ρ_сталь * π * r^2 * 0,2
- масса алюминия m_алюминий = ρ_алюминий * V_алюминий = ρ_алюминий * π * r^2 * 0,2.
4. Подставим значения плотностей:
m_сталь = 7850 * π * r^2 * 0,2,
m_алюминий = 2700 * π * r^2 * 0,2.
5. Теперь найдем координаты центра масс каждой половины. Положим начало координат в левый конец стержня:
- координата центра масс стали x_сталь = 0,2 м,
- координата центра масс алюминия x_алюминий = 0,6 м.
6. Центр тяжести всего стержня x_c можно найти по формуле:
x_c = (m_сталь * x_сталь + m_алюминий * x_алюминий) / (m_сталь + m_алюминий).
7. Подставим выражения для масс:
x_c = [ (7850 * π * r^2 * 0,2) * 0,2 + (2700 * π * r^2 * 0,2) * 0,6 ] / [ 7850 * π * r^2 * 0,2 + 2700 * π * r^2 * 0,2 ].
8. Упрощаем:
x_c = [ (7850 * 0,2^2 + 2700 * 0,6) ] / [ 7850 * 0,2 + 2700 * 0,2 ].
9. Вынесем π * r^2 и 0,2 за скобки:
x_c = ( (7850 * 0,04 + 2700 * 0,6) / (7850 + 2700) ) * 0,2.
10. Посчитаем числитель и знаменатель:
числитель = 7850 * 0,04 + 2700 * 0,6 = 314 + 1620 = 1934.
знаменатель = 7850 + 2700 = 10550.
11. Найдем x_c:
x_c = (1934 / 10550) * 0,2 ≈ 0,0365 м = 3,65 см.
Ответ:
центр тяжести стержня находится на расстоянии 3,65 см от левого конца.