Дано:
- Диаметр стержня d = 7,0 мм = 0,007 м
- sin(α) = 0,56
- Абсолютный показатель преломления стекла n = 2,0
Найти:
- Длину стержня L.
Решение:
1. Найдем угол падения α с помощью обратной функции синуса:
α = arcsin(0,56)
2. Теперь найдем угол преломления β, используя закон Снелли:
n_воздуха * sin(α) = n_стекла * sin(β)
1 * sin(α) = 2 * sin(β)
Подставим значение sin(α):
sin(β) = sin(α) / 2
sin(β) = 0,56 / 2 = 0,28
Теперь найдем угол β:
β = arcsin(0,28)
3. Теперь необходимо выяснить длину пути света внутри стержня. Учтем, что после трехкратного отражения луч вернется к центру другого основания.
4. При каждом отражении образуется прямоугольный треугольник, где высота H равна радиусу стержня:
R = d/2 = 0,007 м / 2 = 0,0035 м
Используем углы для нахождения высоты H и длины стороны:
H = R * tan(β)
5. Рассчитаем высоту H, для этого нужно найти tan(β):
tan(β) = sin(β) / cos(β)
Сначала найдем cos(β):
cos(β) = sqrt(1 - sin²(β)) = sqrt(1 - 0,28²) ≈ sqrt(1 - 0,0784) ≈ sqrt(0,9216) ≈ 0,96
Теперь tan(β):
tan(β) = 0,28 / 0,96 ≈ 0,2917
Следовательно,
H = R * tan(β) = 0,0035 м * 0,2917 ≈ 0,00102 м
6. Путь света в стержне до выхода будет составлять:
L = 3 * H = 3 * 0,00102 м = 0,00306 м
Ответ:
Длина стержня L ≈ 0,00306 м или 3,06 мм.