Дано:
- масса бруска m
- жёсткость пружины k
- коэффициент трения u
Найти:
Минимальную скорость v_0, которую нужно сообщить бруску вдоль пружины, чтобы он вернулся в начальную точку.
Решение:
1. При смещении бруска на расстояние x от начального положения происходит потенциальная энергия в пружине и работа сил трения.
2. Потенциальная энергия пружины при сжатии или растяжении на расстояние x:
PE_p = (1/2) * k * x².
3. Сила трения, действующая на брусок, равна:
F_tr = u * N,
где N - нормальная сила, которая для горизонтального движения равна mg. То есть:
F_tr = u * m * g.
4. Работа силы трения при смещении бруска на расстояние x:
A_tr = F_tr * x = u * m * g * x.
5. В момент, когда брусок возвращается в начальную точку, вся кинетическая энергия, которую он имел изначально, должна быть равна работе против силы трения плюс потенциальной энергии в пружине:
(1/2) * m * v_0² = A_tr + PE_p.
6. Подставим значения:
(1/2) * m * v_0² = u * m * g * x + (1/2) * k * x².
7. Упростим уравнение, сократив массу bруска:
(1/2) * v_0² = u * g * x + (1/2) * (k/m) * x².
8. Теперь выразим минимальную скорость v_0:
v_0² = 2 * (u * g * x + (1/2) * (k/m) * x²),
v_0 = sqrt(2 * (u * g * x + (1/2) * (k/m) * x²)).
Ответ:
Минимальная скорость, которую надо сообщить бруску вдоль пружины, равна sqrt(2 * (u * g * x + (1/2) * (k/m) * x²)).