Дано:
m1 = 246 г = 0,246 кг (масса бруска)
m2 = 4 г = 0,004 кг (масса дробинки)
v0 = 25 м/с (скорость дробинки)
xmax = 8 см = 0,08 м (амплитуда колебаний)
Найти:
Циклическую частоту свободных гармонических колебаний ω.
Решение:
1. Сначала найдем общую массу системы после столкновения. Общая масса m будет равна сумме масс бруска и дробинки:
m = m1 + m2 = 0,246 кг + 0,004 кг = 0,250 кг.
2. После столкновения дробинка застревает в бруске, и система начинает двигаться с некоторой скоростью V. Мы можем использовать закон сохранения импульса для нахождения этой скорости. Исходя из закона сохранения импульса, имеем:
m2 * v0 = m * V
3. Подставим известные значения:
0,004 кг * 25 м/с = 0,250 кг * V
4. Найдем скорость V:
V = (0,004 * 25) / 0,250 = 0,4 м/с.
5. Теперь мы можем найти жесткость пружины k, используя формулу для максимальной потенциальной энергии пружины, которая равна кинетической энергии системы в момент начала колебаний. Потенциальная энергия пружины в максимальном сжатии или растяжении равна:
E_pot = (1/2) * k * xmax^2.
6. Кинетическая энергия системы равна:
E_kin = (1/2) * m * V^2.
7. Приравняем эти два выражения, так как вся кинетическая энергия при переходе в потенциал переходит в энергию пружины:
(1/2) * k * xmax^2 = (1/2) * m * V^2.
8. Упростим уравнение:
k * xmax^2 = m * V^2.
9. Найдем жесткость пружины k:
k = (m * V^2) / xmax^2.
10. Подставим известные значения:
k = (0,250 кг * (0,4 м/с)^2) / (0,08 м)^2.
11. Рассчитаем k:
k = (0,250 * 0,16) / 0,0064 = 0,04 / 0,0064 = 6,25 Н/м.
12. Теперь мы можем найти циклическую частоту ω. Циклическая частота определяется по формуле:
ω = sqrt(k/m).
13. Подставим значения:
ω = sqrt(6,25 / 0,250).
14. Рассчитаем:
ω = sqrt(25) = 5 рад/с.
Ответ:
Циклическая частота свободных гармонических колебаний составляет 5 рад/с.