Дано:
- Количество целей: 10
- Вероятность поражения цели при одном выстреле: p = 0,7
- Количество выстрелов, произведённых по целям: 14
Найти:
Математическое ожидание числа поражённых целей.
Решение:
1. Каждой цели даётся 2 попытки. Вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним выстрелом, можно найти следующим образом:
Вероятность того, что цель не будет поражена при двух попытках:
P(не поражена) = P(промах при первом) * P(промах при втором) = (1 - p) * (1 - p) = (0,3) * (0,3) = 0,09.
Следовательно, вероятность поражения цели хотя бы одним выстрелом:
P(поражена) = 1 - P(не поражена) = 1 - 0,09 = 0,91.
2. Теперь найдем математическое ожидание числа поражённых целей. Обозначим X - число поражённых целей. Поскольку вероятность поражения каждой из 10 целей независима, можно использовать свойство математического ожидания для независимых событий:
E(X) = n * P(поражена),
где n - количество целей.
Таким образом, E(X) = 10 * 0,91 = 9,1.
3. Однако необходимо учесть, что катер использовал только 14 ракет. Поскольку по каждой цели можно сделать максимум 2 выстрела, общее количество выстрелов по всем целям составляет 20. Но в нашем случае мы сделали только 14 выстрелов, что значит, что мы не стреляли по всем целям.
Таким образом, каждый выстрел будет иметь вероятность 0,7, а максимальное количество возможных поражённых целей в 14 выстрелах нужно пересчитать с учётом фактического расхода ракет.
Рассмотрим математическое ожидание по количеству выстрелов, которое мы сделали. Если у нас есть 14 выстрелов, мы можем определять, сколько целей могло быть поражено.
Если E(X) при 20 выстрелах было 9,1, то при 14 выстрелах:
E(X) = (количество сделанных выстрелов / максимальное количество выстрелов) * E(X при 20 выстрелах).
4. Максимальное количество выстрелов при 10 целях = 20.
Следовательно:
E(X) = (14 / 20) * 9,1 = 0,7 * 9,1 = 6,37.
Ответ:
Математическое ожидание числа поражённых целей составляет 6,37.