Дано:
- 4 ковбоя и 4 шляпы, каждая из которых принадлежит одному ковбою.
- Шляпы забираются наугад.
Найти:
- Вероятность того, что хотя бы одному из ковбоев досталась его собственная шляпа.
Решение:
1. Обозначим количество ковбоев как n = 4.
2. Общее количество способов, которыми ковбои могут выбрать шляпы, равно 4! (факториал 4).
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
3. Найдем количество способов, когда ни одному ковбою не досталась его собственная шляпа. Это называется количеством дерangements (перестановок, в которых ни один элемент не стоит на своем месте).
4. Количество дерangements D(n) для n = 4 можно вычислить по формуле:
D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!)
Подставим n = 4:
D(4) = 4! * (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24)
= 24 * (0 + 1/2 - 1/6 + 1/24)
= 24 * (12/24 - 4/24 + 1/24)
= 24 * (9/24)
= 9.
5. Теперь найдем вероятность того, что ни одному ковбою не досталась его собственная шляпа:
P(ни одному не досталась) = D(4) / 4! = 9 / 24 = 3 / 8.
6. Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одному ковбою досталась его собственная шляпа:
P(хотя бы одному досталась) = 1 - P(ни одному не досталась)
= 1 - 3/8
= 5/8.
Ответ: 5/8.