Question

Три усталых ковбоя зашли в салун и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.

Answer 1

Дано: Три ковбоя и три шляпы, каждая шляпа принадлежит одному из ковбоев.

Найти: Вероятность того, что никто из ковбоев не возьмет свою собственную шляпу.

1. Общее количество способов разбирать шляпы:

Каждый ковбой может выбрать любую из трех шляп. Таким образом, общее количество способов, которыми ковбои могут выбрать шляпы, равно 3! (факториал трех):

3! = 3 * 2 * 1 = 6.

2. Количество благоприятных исходов:

Необходимо найти количество перестановок, при которых никто из ковбоев не получает свою шляпу. Это называется "деранджмент" (обозначается D(n)), и для трех объектов D(3) можно вычислить по формуле:

D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)

Для n = 3:

D(3) = 3! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3!)
      = 6 * (1 - 1 + 0.5 - 1/6)
      = 6 * (0.5 - 1/6)
      = 6 * (3/6 - 1/6)
      = 6 * (2/6)
      = 6 * (1/3)
      = 2.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 2.

3. Вероятность:

P(никто не возьмет свою шляпу) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 2 / 6 = 1 / 3.

Ответ: P(никто не возьмет свою шляпу) = 1/3.