Дано:
- n = 10 – число ключей и крючков.
Найти:
- вероятность того, что ни один из ключей не оказался на своём крючке.
Решение:
1. Необходимо найти общее число перестановок ключей. Это количество равно n! (факториал n):
n! = 10! = 3628800.
2. Теперь нужно найти количество таких перестановок, при которых ни один ключ не висит на своём крючке. Эти перестановки называются дерangements и обозначаются D(n).
3. Формула для вычисления количества дерangements D(n) выглядит следующим образом:
D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!).
4. Для n = 10 подставим значения:
D(10) = 10! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + 1/6! - 1/7! + 1/8! - 1/9! + 1/10!).
5. Расчитаем:
1 = 1
1/1! = 1
1/2! = 0.5
1/3! = 0.1667
1/4! = 0.0417
1/5! = 0.00833
1/6! = 0.00139
1/7! = 0.000198
1/8! = 0.0000248
1/9! = 0.000002755
1/10! = 0.0000002756
Сложим все значения:
1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417 - 0.00833 + 0.00139 - 0.000198 + 0.0000248 - 0.000002755 + 0.0000002756 ≈ 0.367879.
6. Теперь подставим это значение в формулу для D(10):
D(10) ≈ 10! * 0.367879 ≈ 3628800 * 0.367879 ≈ 1334961.
7. Вероятность того, что ни один ключ не оказался на своём крючке, вычисляется по формуле:
P = D(n) / n! = 1334961 / 3628800.
8. Упростим:
P ≈ 0.367879.
Ответ:
Вероятность того, что ни один из ключей не оказался на своём крючке, примерно равна 0.367879.