дано:
Имеется 30 крючков и 30 ключей, каждый ключ соответствует номеру крючка. Ключи развешиваются случайным образом.
найти:
1. Математическое ожидание случайной величины "число ключей, висящих на своих крючках".
2. Дисперсию этой случайной величины.
решение:
Обозначим случайную величину X как число ключей, висящих на своих крючках.
Сначала найдем математическое ожидание E(X).
Для каждого ключа i (i от 1 до 30) определим индикаторную случайную величину Xi, равную 1, если ключ висит на своем крючке, и 0 в противном случае.
Таким образом, X = X1 + X2 + ... + X30.
Теперь найдём математическое ожидание E(X):
E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(X30).
Поскольку ключи развешиваются случайным образом, вероятность того, что конкретный ключ i будет висеть на своем крючке, равна 1/30.
Следовательно,
E(Xi) = 1 * (1/30) + 0 * (29/30) = 1/30.
Подставляя в формулу для E(X):
E(X) = 30 * (1/30) = 1.
Теперь найдем дисперсию Var(X).
Дисперсия D(X) может быть найдена через индикаторные случайные величины:
D(X) = D(X1 + X2 + ... + X30) = D(X1) + D(X2) + ... + D(X30) + 2*Sum(i!=j)Cov(Xi, Xj).
Сначала найдем D(Xi):
D(Xi) = E(Xi^2) - (E(Xi))^2.
Так как Xi принимает значения 0 и 1, то E(Xi^2) = E(Xi) = 1/30.
Следовательно,
D(Xi) = (1/30) - (1/30)^2 = (1/30) - (1/900) = (30-1)/900 = 29/900.
Поскольку все Xi независимы, мы имеем:
D(X) = 30 * D(Xi) = 30 * (29/900) = 29/30.
Ответ:
1. Математическое ожидание числа ключей, висящих на своих крючках, равно 1.
2. Дисперсия этой случайной величины равна 29/30.