Дано:
У вахтёра в комнате 12 крючков и 12 ключей, которые развешиваются в случайном порядке.
Найти:
Вероятность того, что ключи будут висеть определенным образом на крючках.
Решение:
а) Количество способов повесить ключи так, чтобы каждый оказался на своем крючке равно количеству перестановок из 12 элементов, то есть 12!. Общее количество способов повесить ключи на крючки равно 12!.
Вероятность того, что каждый ключ висит на своем крючке равна 1/12!.
б) Теперь посчитаем вероятность того, что хотя бы один ключ висит не на своем крючке. Это можно рассчитать как дополнение к вероятности того, что все ключи висят на своих крючках: 1 - 1/12! = (12!-1)/12!.
в) Для двух определенных ключей, которые перепутаны местами, существует 11! способов расположения остальных ключей так, чтобы они остались на своих крючках. Таким образом, вероятность этого события равна 11!/12!.
г) Рассчитаем вероятность того, что ровно один ключ висит не на своем крючке. Используем формулу для подсчета перестановок: P(12,1) = 12. Поскольку у нас есть 12 ключей, которые могут быть выбраны для того, чтобы висеть не на своем крючке. Поэтому вероятность этого события равна 12/12!.
Ответ:
а) 1/12!
б) (12!-1)/12!
в) 11!/12!
г) 12/12!