Дано:
Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5 и p = 1/3.
Найти:
Вероятность того, что X = 1.
Решение:
Вероятность того, что случайная величина X равна k в биномиальном распределении определяется по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)
где C(n, k) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Подставляем наши значения: n = 5, k = 1, p = 1/3.
Сначала вычислим биномиальный коэффициент C(5, 1):
C(5, 1) = 5! / (1! * (5 - 1)!) = 5! / (1! * 4!) = 5 / 1 = 5
Теперь подставим все в формулу вероятности:
P(X = 1) = C(5, 1) * (1/3)^1 * (2/3)^(5 - 1)
Теперь подставим значения:
P(X = 1) = 5 * (1/3)^1 * (2/3)^4
Вычислим (2/3)^4:
(2/3)^4 = 16/81
Теперь можем подставить это значение в формулу:
P(X = 1) = 5 * (1/3) * (16/81)
Поскольку (1/3) = 27/81, то:
P(X = 1) = 5 * (27/81) * (16/81) = (5 * 16) / 81 = 80 / 81
Ответ:
Вероятность того, что случайная величина X равна 1, составляет 80/243.