Дано:
10 ключей, каждый из которых висит на своем крючке.
Найти:
а) вероятность того, что все ключи висят на своих крючках;
б) вероятность того, что ровно один ключ висит на своем крючке;
в) вероятность того, что хотя бы один ключ висит на своем крючке;
г) вероятность того, что все ключи висят не на своих крючках.
Решение:
а) Вероятность того, что все ключи висят на своих крючках.
Всего перестановок ключей: 10!
Только один способ, когда все ключи на своих местах.
Вероятность: P(все) = 1 / 10! = 1 / 3628800.
б) Вероятность того, что ровно один ключ висит на своем крючке.
Выберем один ключ, который будет на своем месте (10 способов).
Оставшиеся 9 ключей должны быть не на своих местах, что соответствует количеству дерangements D(9).
D(n) вычисляется по формуле:
D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)
Для n = 9:
D(9) = 9! * (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720 - 1/5040 + 1/40320)
= 362880 * (0.3680555556)
≈ 133496.
Итак, вероятность того, что ровно один ключ на своем месте:
P(ровно один) = 10 * D(9) / 10! = 10 * 133496 / 3628800 = 133496 / 362880 = 0.0368.
в) Вероятность того, что хотя бы один ключ висит на своем крючке.
Используем предыдущие результаты:
P(хотя бы один) = 1 - P(ни один).
P(ни один) соответствует дерangements D(10):
D(10) = 10! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + 1/6! - 1/7! + 1/8! - 1/9! + 1/10!).
Приближенно: D(10) ≈ 9/10! = 0.3678794412.
Таким образом:
P(хотя бы один) = 1 - D(10)/10! ≈ 1 - 0.3678794412 = 0.6321205588.
г) Вероятность того, что все ключи висят не на своих крючках.
Это вероятность того, что не осталось ни одного ключа на своем месте, равная P(ни один) = D(10) / 10!.
Приблизительно:
P(все не на своих) = D(10) / 10! ≈ 0.3678794412.
Ответ:
а) 1 / 3628800.
б) 0.0368.
в) 0.6321205588.
г) 0.3678794412.