дано:
1. N - общее число испытаний Бернулли.
2. p - вероятность успеха в одном испытании.
3. q = 1 - p - вероятность неуспеха в одном испытании.
найти:
Наиболее вероятное число успехов k в N испытаниях.
решение:
Рассмотрим случайные испытания Бернулли, где возможны только два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью q). Обозначим X – количество успехов из N испытаний.
Распределение вероятностей числа успехов X описывается биномиальным распределением с параметрами N и p. Вероятность того, что произойдет ровно k успехов, определяется формулой:
P(X = k) = C(N, k) * p^k * q^(N-k)
где C(N, k) - количество сочетаний из N по k, т.е. C(N, k) = N! / (k!(N-k)!).
Чтобы найти наиболее вероятное значение k, нам нужно максимизировать функцию P(X = k) по k.
Для этого удобно использовать логарифм вероятности, чтобы преобразовать произведение в сумму:
ln(P(X = k)) = ln(C(N, k)) + k * ln(p) + (N - k) * ln(q)
Теперь найдем производную по k и приравняем её к нулю для нахождения экстремума:
d/dk [ ln(P(X = k)) ] = d/dk [ ln(C(N, k)) ] + ln(p) - ln(q)
Используя свойство производной логарифма сочетаний, получаем:
d/dk [ ln(C(N, k)) ] = ln(N) - ln(k) - ln(N - k + 1)
Приравниваем производную к нулю:
ln(N) - ln(k) - ln(N - k + 1) + ln(p) - ln(q) = 0
Преобразуем уравнение:
ln(N) + ln(p) - ln(q) = ln(k) + ln(N - k + 1)
Или в экспоненциальной форме:
(N * p / q) = k * (N - k + 1)
Теперь мы можем решить это уравнение относительно k. В случае, когда N достаточно велико, наиболее вероятное значение будет приближенно равно:
k ≈ N * p
Таким образом, наиболее вероятное значение числа успехов в N испытаниях можно оценить как N*p, если p > 0.5.
ответ:
Наиболее вероятное число успехов в N испытаниях Бернулли приблизительно равно k ≈ N * p.