Дано: Длина двоичного кода n.
Найти:
а) Количество двоичных кодов длины n, в которых число единиц четно.
б) Количество двоичных кодов длины n, в которых число единиц нечетно.
Решение:
1. Всего существует 2^n двоичных кодов длины n. Это связано с тем, что для каждой позиции в коде мы можем выбрать либо 0, либо 1.
2. Теперь определим количество кодов с четным и нечетным числом единиц. Обозначим:
- A – множество кодов с четным количеством единиц,
- B – множество кодов с нечетным количеством единиц.
Согласно теории, для любого n выполняется следующее равенство:
|A| + |B| = 2^n.
3. Также есть свойство, которое говорит, что количество двоичных кодов с четным количеством единиц равно количеству двоичных кодов с нечетным количеством единиц. Это происходит из-за симметрии двоичных кодов: если мы меняем все 0 на 1 и все 1 на 0, четное количество единиц становится нечетным, и наоборот.
Таким образом, мы можем записать:
|A| = |B|.
4. Из уравнения |A| + |B| = 2^n следует, что:
2 * |A| = 2^n, откуда
|A| = 2^(n-1).
Следовательно, так как |A| = |B|, то также:
|B| = 2^(n-1).
Ответ:
а) 2^(n-1) кодов с четным числом единиц.
б) 2^(n-1) кодов с нечетным числом единиц.