Дано: Длина последовательности (k) = 10.
Найти: Количество двоичных кодов по различным условиям.
Решение:
а) Нет нулей:
Если в коде нет нулей, то все 10 разряды заняты единицами. Есть только одна такая последовательность: 1111111111.
Количество кодов = 1.
б) Ровно одна единица:
Для того чтобы разместить ровно одну единицу в последовательности длины 10, мы можем выбрать любой из 10 разрядов для единицы, а остальные будут нулями.
Количество кодов = C(10, 1) = 10.
в) Ровно 3 единицы:
Чтобы разместить ровно 3 единицы в последовательности длиной 10, нужно выбрать 3 разряда из 10 для единиц, остальные будут нулями.
Количество кодов = C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)
= 10! / (3! * 7!)
= (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1)
= 120.
г) Хотя бы одна единица:
Общее количество двоичных кодов длины 10 равно 2^10, так как каждый разряд может быть либо 0, либо 1.
Количество кодов с хотя бы одной единицей = Общее количество кодов - Количество кодов без единиц
= 2^10 - 1
= 1024 - 1
= 1023.
д) Нулей и единиц поровну:
Для равного количества нулей и единиц в последовательности длиной 10 нужно иметь 5 единиц и 5 нулей.
Количество кодов = C(10, 5) = 10! / (5! * 5!)
= (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 252.
е) Нулей больше, чем единиц:
В последовательности длиной 10, если нулей больше, чем единиц, то возможные варианты количества единиц: 0, 1, 2, 3, или 4.
Количество кодов:
1. 0 единиц: C(10, 0) = 1.
2. 1 единица: C(10, 1) = 10.
3. 2 единицы: C(10, 2) = 45.
4. 3 единицы: C(10, 3) = 120.
5. 4 единицы: C(10, 4) = 210.
Общее количество кодов = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 = 386.
Ответ:
а) 1 код.
б) 10 кодов.
в) 120 кодов.
г) 1023 кода.
д) 252 кода.
е) 386 кодов.