Дано:
3 человека, каждый с одной шляпой.
Общее количество шляп = 3.
Найти:
а) Вероятность того, что каждый уйдёт в своей шляпе;
б) Вероятность того, что каждый уйдёт в чужой шляпе;
в) Вероятность того, что один уйдёт в своей шляпе, а двое — в чужих;
г) Вероятность того, что двое уйдут в своих шляпах, а один — в чужой.
Решение:
1. Общее количество способов, которыми 3 человека могут разобрать свои шляпы, равно 3! = 6.
а) Для того чтобы каждый ушел в своей шляпе, возможен только один вариант: все остаются при своих шляпах.
Вероятность P(каждый в своей шляпе) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 1 / 6.
б) Для того чтобы каждый ушел в чужой шляпе, необходимо, чтобы ни один человек не оказался в своей шляпе. Это называется дерangement (невозврат). Для 3 объектов количество таких перестановок D(3) = 2.
Вероятность P(каждый в чужой шляпе) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 2 / 6 = 1 / 3.
в) Чтобы один человек ушёл в своей шляпе, а двое — в чужих, нужно выбрать одного человека, который уйдёт в своей шляпе, и для оставшихся двоих нужно, чтобы они обменялись шляпами.
Количество способов выбрать одного человека из 3 = 3.
Для оставшихся двоих будет 1 способ (обмен).
Общее количество благоприятных исходов = 3 * 1 = 3.
Вероятность P(один в своей шляпе, двое в чужих) = 3 / 6 = 1 / 2.
г) Чтобы двое ушли в своих шляпах, а один — в чужой, нужно выбрать двоих из трех, которые уйдут в своих шляпах. Один оставшийся человек может взять одну из двух оставшихся шляп.
Количество способов выбрать двух из трех = C(3, 2) = 3.
У оставшегося человека будет 1 возможность взять чужую шляпу.
Общее количество благоприятных исходов = 3 * 1 = 3.
Вероятность P(двое в своих шляпах, один в чужой) = 3 / 6 = 1 / 2.
Ответ:
а) P(каждый в своей шляпе) = 1/6;
б) P(каждый в чужой шляпе) = 1/3;
в) P(один в своей шляпе, двое в чужих) = 1/2;
г) P(двое в своих шляпах, один в чужой) = 1/2.