Дано:
Три джентльмена пришли в ресторан в одинаковых шляпах и сдали их в гардероб. Уходя домой, они разобрали шляпы наугад. Случайная величина X равна количеству джентльменов, ушедших домой в своих шляпах.
Найти:
Закон распределения случайной величины X.
Решение:
Сначала определим возможные значения случайной величины X. Поскольку всего три джентльмена, количество джентльменов, которые могут уйти в своих шляпах, может принимать значения 0, 1, 2 или 3.
Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения k:
1. P(X = 0): Ни один джентльмен не уходит в своей шляпе. Это возможно только в случае, если все три джентльмена заберут чужие шляпы.
Для этого одного конкретного способа (перепутать все шляпы) из всех возможных перестановок (3!):
- Общее количество способов выбрать шляпы равно 3! = 6.
- Способов взять все чужие шляпы (перепутать все): 2 (всего 2 способа, при которых ни одна шляпа не вернется к своему владельцу).
Таким образом, P(X = 0) = 2 / 6 = 1/3.
2. P(X = 1): Один джентльмен уходит в своей шляпе. Если один джентльмен забирает свою шляпу, то оставшиеся два должны перепутать свои шляпы:
- Количество способов выбрать одного джентльмена, который уходит в своей шляпе: 3 (выбираем одного из трех).
- Оставшиеся двое могут лишь перепутать свои шляпы, что возможно одним способом.
Таким образом, P(X = 1) = 3 * 1 / 6 = 3/6 = 1/2.
3. P(X = 2): Два джентльмена уходят в своих шляпах. В этом случае третий джентльмен должен взять свою шляпу, так как других вариантов нет:
- Количество способов выбрать двух джентльменов, которые забирают свои шляпы: C(3, 2) = 3.
- Третий джентльмен автоматически возьмет свою шляпу.
Таким образом, P(X = 2) = 3 / 6 = 1/2.
4. P(X = 3): Все джентльмены уходят в своих шляпах. Это лишь один способ, когда каждый берет свою шляпу:
- P(X = 3) = 1 / 6.
Теперь подведем итоги по вероятностям:
- P(X = 0) = 1/3
- P(X = 1) = 1/2
- P(X = 2) = 1/6
- P(X = 3) = 1/6
Ответ:
Закон распределения случайной величины X представлен следующими значениями:
P(X = 0) = 1/3, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/6, P(X = 3) = 1/6.