Дано:
C = 5 нФ = 5 * 10^(-9) Ф (емкость конденсатора)
E0 (начальная энергия конденсатора) = (1/2) * C * U^2
ΔE = E0 - E = E0 / 4 (энергия уменьшилась в 4 раза)
t = 10^(-8) с (время)
Найти:
λ (длину волны, излучаемую контуром)
Решение:
1. Начальная энергия конденсатора:
E0 = (1/2) * C * U^2.
2. После времени t энергия уменьшилась в 4 раза, тогда:
E = E0 / 4 = (1/2) * C * U^2 / 4 = (1/8) * C * U^2.
3. Энергия в конденсаторе при времени t выражается через заряд (Q) и напряжение (U):
E = (1/2) * C * U(t)^2.
4. Запишем соотношение для энергии:
(1/2) * C * U(t)^2 = (1/8) * C * U^2.
5. Упрощая уравнение, получаем:
U(t)^2 = (1/4) * U^2.
6. Таким образом, можно выразить U(t):
U(t) = (1/2) * U.
7. Теперь найдем угловую частоту (ω):
ω = 1 / (√(L * C)).
8. Из закона сохранения энергии:
E(t) = E0 * e^(-2γt),
где γ = R / (2L) (для идеальной катушки R = 0, γ = 0).
9. Учитывая, что энергия уменьшается в 4 раза, получаем:
E0 / E = 4 = e^(2γt).
10. Логарифмируем:
ln(4) = 2γt.
11. Так как γ = 0, при идеальной катушке γ = 0, следует, что:
ω = 2πf.
12. Используя формулу длины волны:
λ = v / f,
где v = 3 * 10^8 м/с (скорость света).
13. Подставляя f в выражение для λ:
λ = 3 * 10^8 / (ω / (2π)) = 3 * 10^8 / (1 / (√(LC))) = 2π√(LC).
14. Подставляем значение L (допустим L = 1 мГн = 1 * 10^(-3) Гн):
λ = 2π * √(1 * 10^(-3) * 5 * 10^(-9)).
15. Расчитаем:
λ = 2π * √(5 * 10^(-12)) ≈ 2π * 2.24 * 10^(-6) ≈ 14.09 * 10^(-6) м.
Ответ:
Длина волны, излучаемая контуром, составляет примерно 14.09 мкм.