Дано:
Треугольник ABC,
AC = BC,
AH = 11 м,
высота AH = 9 м.
Найти:
sin∠BAC.
Решение:
Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Высота AH делит сторону BC на два равные отрезка. Обозначим точку H как основание высоты AH на стороне BC.
Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
AB^2 = AH^2 + BH^2.
Обозначим длину стороны AB (или AC) как c и половину стороны BC как x.
Таким образом, у нас есть:
c^2 = 9^2 + x^2.
c^2 = 81 + x^2.
Теперь найдем длину стороны AC (или BC). Мы знаем, что AH = 11 м. Отметим, что высота также делит сторону AC пополам, а длина AH является расстоянием от вершины A до основания H.
В равнобедренном треугольнике:
AH^2 + (BH)^2 = (AC)^2,
где BH = x.
Теперь подставим известные значения:
11^2 + x^2 = c^2.
121 + x^2 = c^2.
У нас есть два уравнения:
1. c^2 = 81 + x^2
2. c^2 = 121 + x^2
Приравняем их для нахождения значения x:
81 + x^2 = 121 + x^2.
Отсюда мы можем увидеть, что:
81 = 121, что невозможно.
Это говорит нам о том, что я неправильно подошел к расчету. Используем метод определения синуса угла BAC через высоту.
Мы знаем, что sin∠BAC = противолежащая сторона / гипотенуза = AH / AC.
Где AH = 9 м, а AC = √(AH^2 + x^2).
Согласно теореме, если высота АН равна 9, то нужно найти c:
AC = √(AH^2 + (BC/2)^2).
Сначала найдем половину BC с помощью:
Если h = 9, то
h^2 + x^2 = 11^2 (длину AC),
9^2 + x^2 = 11^2,
81 + x^2 = 121,
x^2 = 40,
x = √40 = 2√10.
Зная x = √40 / 2, теперь можем найти AC.
Теперь подставляем в формулу для sin:
sin∠BAC = 9 / 11.
Ответ:
sin∠BAC = 9/11.