В треугольнике ABC (AC = ВС) АН = 11, высота АН равна 9.  Найдите синус угла ВАС.
от

1 Ответ

Дано:  
Треугольник ABC,  
AC = BC,  
AH = 11 м,  
высота AH = 9 м.  

Найти:  
sin∠BAC.  

Решение:  
Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Высота AH делит сторону BC на два равные отрезка. Обозначим точку H как основание высоты AH на стороне BC.

Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

AB^2 = AH^2 + BH^2.

Обозначим длину стороны AB (или AC) как c и половину стороны BC как x.

Таким образом, у нас есть:

c^2 = 9^2 + x^2.  
c^2 = 81 + x^2.

Теперь найдем длину стороны AC (или BC). Мы знаем, что AH = 11 м. Отметим, что высота также делит сторону AC пополам, а длина AH является расстоянием от вершины A до основания H.

В равнобедренном треугольнике:

AH^2 + (BH)^2 = (AC)^2,
где BH = x.

Теперь подставим известные значения:

11^2 + x^2 = c^2.  
121 + x^2 = c^2.

У нас есть два уравнения:

1. c^2 = 81 + x^2
2. c^2 = 121 + x^2

Приравняем их для нахождения значения x:

81 + x^2 = 121 + x^2.

Отсюда мы можем увидеть, что:

81 = 121, что невозможно.

Это говорит нам о том, что я неправильно подошел к расчету. Используем метод определения синуса угла BAC через высоту.

Мы знаем, что sin∠BAC = противолежащая сторона / гипотенуза = AH / AC.

Где AH = 9 м, а AC = √(AH^2 + x^2).

Согласно теореме, если высота АН равна 9, то нужно найти c:

AC = √(AH^2 + (BC/2)^2).

Сначала найдем половину BC с помощью:

Если h = 9, то
h^2 + x^2 = 11^2 (длину AC),
9^2 + x^2 = 11^2,
81 + x^2 = 121,
x^2 = 40,
x = √40 = 2√10.

Зная x = √40 / 2, теперь можем найти AC.

Теперь подставляем в формулу для sin:

sin∠BAC = 9 / 11.

Ответ:  
sin∠BAC = 9/11.
от