Дано:
Треугольник ABC,
AC = BC,
AH = 20 м,
высота AH = 8 м.
Найти:
sin∠BAC.
Решение:
Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Высота AH делит сторону BC на два равные отрезка. Обозначим точки B и C так, что BH = CH.
Для нахождения длины половины стороны BC (BH) используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
AB^2 = AH^2 + BH^2.
Так как AB = AC, то обозначим AB = AC = c.
Подставим известные значения:
c^2 = 8^2 + BH^2,
где c - длина стороны AC (или BC).
Таким образом,
c^2 = 64 + BH^2.
Теперь найдем длину AH:
AH = 20 м.
Из данного условия мы также знаем, что высота AH делит треугольник на два равных треугольника, поэтому можно выразить sin∠BAC как:
sin∠BAC = противолежащая сторона / гипотенуза = AH / AC.
Подставим известные значения:
sin∠BAC = 8 / c.
Теперь нам необходимо найти c. Мы уже знаем, что:
c^2 = 64 + BH^2.
В равнобедренном треугольнике BC = 2*BH и:
HC = 20 - 8 = 12
Теперь воспользуемся теорией:
согласно Пифагоровой теореме у нас есть:
(BC/2)^2 + 8^2 = 20^2.
Обозначим BC/2 = x.
x^2 + 8^2 = 20^2
x^2 + 64 = 400
x^2 = 336
x = √336 = 4√21.
Итак, длина стороны AC равна:
AC = BC = 2 * x = 2 * 4√21 = 8√21.
Теперь подставим это значение обратно в нашу формулу для sin∠BAC:
sin∠BAC = 8 / (8√21) = 1 / √21.
Ответ:
sin∠BAC = 1/√21.