дано:
- Угол C = 2 * угол A.
- AC = 2 * BC.
найти:
Доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.
решение:
1. Обозначим угол A как x. Тогда угол C будет равен 2x. Угол B можно выразить через углы A и C:
угол B = 180° - (угол A + угол C) = 180° - (x + 2x) = 180° - 3x.
2. По свойству треугольника сумма углов равна 180°:
x + 2x + (180° - 3x) = 180°.
Это уравнение всегда выполняется, но важно проанализировать полученные углы.
3. Используем теорему синусов для нахождения отношений сторон. По теореме синусов имеем:
AC / sin(B) = BC / sin(A) = AB / sin(C).
4. Обозначим стороны треугольника:
- AC = c,
- BC = a,
- AB = b.
Тогда по условию задачи:
c = 2a.
5. Подставим в теорему синусов:
2a / sin(180° - 3x) = a / sin(x).
6. Заметим, что sin(180° - 3x) = sin(3x), тогда у нас получается:
2a / sin(3x) = a / sin(x).
7. Упростим это уравнение:
2 / sin(3x) = 1 / sin(x).
Следовательно,
sin(3x) = 2 * sin(x).
8. Используем формулу для синуса тройного угла:
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x).
Подставляя это в уравнение, имеем:
3sin(x) - 4sin^3(x) = 2sin(x).
9. Переносим все на одну сторону:
3sin(x) - 2sin(x) - 4sin^3(x) = 0,
sin(x) - 4sin^3(x) = 0.
10. Выносим sin(x) за скобки:
sin(x)(1 - 4sin^2(x)) = 0.
11. Получаем два возможных случая:
1) sin(x) = 0. Это невозможно для углов в треугольнике.
2) 1 - 4sin^2(x) = 0, следовательно:
4sin^2(x) = 1,
sin^2(x) = 1/4,
sin(x) = 1/2.
12. При sin(x) = 1/2, угол A равен 30°. Теперь найдем угол C:
угол C = 2 * угол A = 2 * 30° = 60°.
13. Угол B можно найти:
угол B = 180° - (угол A + угол C) = 180° - (30° + 60°) = 90°.
ответ:
Треугольник ABC является прямоугольным.