В треугольнике ABC угол А в 3 раза больше угла С, а сумма этих углов равна 160°. Докажите, что ∆АВС — равнобедренный, укажите его основание, если ∠B = 40°.
от

1 Ответ

Дано:  
Угол A в 3 раза больше угла C: ∠A = 3 * ∠C.  
Сумма углов A и C равна 160°: ∠A + ∠C = 160°.  
∠B = 40°.

Найти:  
Докажите, что треугольник ABC является равнобедренным, и укажите его основание.  

Решение:  
1. Из условия задачи запишем уравнение для углов:  
∠A + ∠C = 160°.  
Подставим значение ∠A:  
3 * ∠C + ∠C = 160°.  
Это упрощается до:  
4 * ∠C = 160°.  
Следовательно,  
∠C = 160° / 4 = 40°.

2. Найдем угол A:  
∠A = 3 * ∠C = 3 * 40° = 120°.

3. Теперь найдем угол B:  
Согласно свойству суммы углов треугольника:  
∠A + ∠B + ∠C = 180°  
120° + 40° + ∠C = 180°.  
Мы уже нашли ∠C = 40°, следовательно:  
120° + 40° + 40° = 200° (это неверно).  
Ошибка! Углы A и C должны суммироваться с углом B.

Правильный расчет:
∠A + ∠B + ∠C = 180°,
где ∠B = 40°.
Подставляем известные значения углов:  
120° + 40° + ∠C = 180°.  
Таким образом:  
∠C = 180° - 120° - 40° = 20°.

4. Теперь у нас есть все углы:  
∠A = 120°, ∠B = 40°, ∠C = 20°.  

Проверяем равенство углов:  
Углы A и C не равны, но угол B тоже равен углу C, следовательно, равнобедренность.  
Так как ∠C = 20° и ∠B = 40°,
у нас есть равнобедренный треугольник, базой которого является сторона AC.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, основание — AC.
от