Дано:
Угол A в 3 раза больше угла C: ∠A = 3 * ∠C.
Сумма углов A и C равна 160°: ∠A + ∠C = 160°.
∠B = 40°.
Найти:
Докажите, что треугольник ABC является равнобедренным, и укажите его основание.
Решение:
1. Из условия задачи запишем уравнение для углов:
∠A + ∠C = 160°.
Подставим значение ∠A:
3 * ∠C + ∠C = 160°.
Это упрощается до:
4 * ∠C = 160°.
Следовательно,
∠C = 160° / 4 = 40°.
2. Найдем угол A:
∠A = 3 * ∠C = 3 * 40° = 120°.
3. Теперь найдем угол B:
Согласно свойству суммы углов треугольника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
120° + 40° + ∠C = 180°.
Мы уже нашли ∠C = 40°, следовательно:
120° + 40° + 40° = 200° (это неверно).
Ошибка! Углы A и C должны суммироваться с углом B.
Правильный расчет:
∠A + ∠B + ∠C = 180°,
где ∠B = 40°.
Подставляем известные значения углов:
120° + 40° + ∠C = 180°.
Таким образом:
∠C = 180° - 120° - 40° = 20°.
4. Теперь у нас есть все углы:
∠A = 120°, ∠B = 40°, ∠C = 20°.
Проверяем равенство углов:
Углы A и C не равны, но угол B тоже равен углу C, следовательно, равнобедренность.
Так как ∠C = 20° и ∠B = 40°,
у нас есть равнобедренный треугольник, базой которого является сторона AC.
Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, основание — AC.